คำแนะนำเชิงลึกเกี่ยวกับตัวแปรกรีกของการซื้อขายตัวเลือก

ชาวกรีก

ชาวกรีก - เดลต้าแกมมาทีต้าเวก้าและโรเป็นตัวแปร 5 ตัวที่ช่วยระบุความเสี่ยงของตำแหน่งออปชั่น

ความเสี่ยงที่นักลงทุนเผชิญในทางเลือกไม่ใช่มิติเดียว เพื่อที่จะรับมือกับการเปลี่ยนแปลงของสภาวะตลาดนักลงทุนควรตระหนักถึงความสำคัญของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ หากต้องการดูว่าการเปลี่ยนแปลงมีขนาดใหญ่หรือเล็กไม่ว่าจะเป็นการสร้างความเสี่ยงหลักหรือเล็กน้อยทฤษฎีตัวเลือกและรูปแบบการกำหนดราคาออปชั่นจะช่วยให้นักลงทุนมีตัวแปรที่ระบุลักษณะความเสี่ยงของตำแหน่งออปชั่นของตน ตัวแปรเหล่านี้เรียกว่าชาวกรีก มีชาวกรีกห้าคนที่เราตรวจสอบ ได้แก่ เดลต้าแกมมาทีต้าเวก้าและโร

เนื่องจากชาวกรีกเป็นอนุพันธ์ของสูตร Black & Scholes เราจะเริ่มต้นด้วยการอธิบายเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งนั้น

แบล็คแอนด์สโคลส์

สูตร Black และ Scholes บางครั้งเรียกว่าสูตร Black, Scholes และ Merton เป็นเครื่องมือมาตรฐานของตลาดสำหรับตัวเลือกการกำหนดราคา ตัวเลือกราคาสูตรนี้เป็นฟังก์ชันของราคาหุ้นปัจจุบัน S ₀เวลาที่จะครบกำหนดของตัวเลือก T ขีดฆ่า X ความผันผวนσและอัตราดอกเบี้ย r:

โทร = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

ใส่ = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) ด้วย

โดยที่ N (x) คือฟังก์ชันการแจกแจงปกติสะสมสำหรับการแจกแจงปกติมาตรฐานนั่นคือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม ~ N (0,1) (ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน) น้อยกว่า x

ก่อนที่จะพูดถึงสูตรเรามาระบุสมมติฐานที่เป็นพื้นฐาน สูตร Black and Scholes ถือว่า:

ผลตอบแทนคือ IID (อิสระและกระจายเหมือนกัน) โดยมีการแจกแจงแบบปกติ
ความผันผวนในอนาคตเป็นที่รู้จักและคงที่
อัตราดอกเบี้ยในอนาคตเป็นที่รู้จักคงที่และเหมือนกันสำหรับการกู้ยืมและการให้กู้ยืม
เส้นทางของหุ้นเป็นไปอย่างต่อเนื่องและสามารถซื้อขายได้อย่างต่อเนื่อง
ต้นทุนการทำธุรกรรมเป็นโมฆะ

ในการพัฒนาทฤษฎีเราถือว่าสมมติฐานทั้งหมดนี้มีอยู่ สูตรนี้เป็นมาตรฐานของตลาดเนื่องจากมีความแข็งแกร่งอย่างมากเมื่อเทียบกับการละเมิดสมมติฐาน

เดลต้า

กรีกตัวแรกที่จะกล่าวถึงคือเดลต้า โดยพื้นฐานแล้วเดลต้าคือความอ่อนไหวของมูลค่าทางทฤษฎีของตัวเลือกต่อการเปลี่ยนแปลงราคาของสัญญาอ้างอิง ตรงไปตรงมามากขึ้นเดลต้าคือการเปลี่ยนแปลงมูลค่าของตัวเลือกเมื่อมูลค่าพื้นฐานเพิ่มขึ้น 1 ดอลลาร์ ตัวอย่างเช่น:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) และΔ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1

โดย N (d ₁) ตามสูตร BS

มูลค่าของตัวเลือกการโทรจะเพิ่มขึ้นเมื่อราคาหุ้นสูงขึ้นดังนั้นเดลต้าของตัวเลือกการโทรจึงเป็นบวก ในทางกลับกันมูลค่าของตัวเลือกใส่จะลดลงเมื่อราคาหุ้นสูงขึ้นดังนั้นเดลต้าของตัวเลือกใส่จึงเป็นลบ

เราสามารถสังเกตได้ว่า N (x) เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังนั้นจึงรับค่าเข้ามา จากนั้นเดลต้าของการเรียกหนึ่งจะอยู่ในและเดลต้าของการโทรหนึ่งครั้ง เนื่องจากระดับพื้นฐานมักจะเป็น 100 หุ้นเดลต้าของตัวเลือกจะคูณด้วย 100 ตัวอย่างเช่นตัวเลือกที่มีเดลต้า 0.25 จะถือว่าเป็นเดลต้า 25 ยิ่งเดลต้าสูงเท่าไหร่การเปลี่ยนแปลงของค่าของตัวเลือกก็จะยิ่งใกล้เคียงกันมากขึ้นเท่านั้น เป็นหุ้นอ้างอิง มูลค่าของตัวเลือกที่มีเดลต้า 100 จะเคลื่อนที่ในอัตราเดียวกับหุ้นอ้างอิงทุกประการ โปรดทราบด้วยว่าการดำเนินการอนุพันธ์เป็นเชิงเส้นดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณเดลต้าของแต่ละตัวเลือกและรวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้เดลต้าของพอร์ตโฟลิโอทั้งหมด (จากนั้นอาจอยู่นอกหลักสูตร)

เมื่ออ็อพชันใกล้หมดอายุเดลต้าของมันจะเปลี่ยนไปเนื่องจากความน่าจะเป็นที่เงินจะหมดอายุหรือออกจากการเปลี่ยนแปลงของเงินและการแจกแจงแบบปกติจะแคบลงและอยู่กึ่งกลางรอบค่าเฉลี่ย เนื่องจากตัวเลือกนั้นใกล้จะหมดอายุตัวเลือกในเงินจะย้ายไปยังเดลต้า 100 และตัวเลือกที่ไม่ใช้เงินจะย้ายไปที่เดลต้า 0 ในทางกลับกันตัวเลือกที่เติมเงินจะอยู่รอบ ๆ เดลต้า 50.

เมื่อหุ้นอ้างอิงมีการเปลี่ยนแปลงราคาเดลต้าก็เปลี่ยนแปลงเช่นกัน นี่เป็นสิ่งที่คาดหวังได้เนื่องจาก d ₁เป็นฟังก์ชันของราคาหุ้น

เดลต้าของการโทร

การตีความในทางปฏิบัติของเดลต้าคืออัตราส่วนป้องกันความเสี่ยง: จำนวนหุ้นที่ควรซื้อหรือขายเพื่อลดความเสี่ยงในทิศทางของตัวเลือก จากสูตร BS เราสามารถเห็นการตีความอื่นได้ พูดโดยคร่าวๆเราสามารถพูดได้ว่าเดลต้าของตัวเลือกคือความน่าจะเป็นที่เงินจะหมดอายุ (สำหรับการใส่เราจะใช้ค่าสัมบูรณ์) การประมาณนี้ใช้ได้กับตัวเลือกในยุโรปเท่านั้น

การสรุปมีการตีความเดลต้าสามแบบ:

การเปลี่ยนแปลงมูลค่าของตัวเลือกหากพื้นฐานเพิ่มขึ้น 1 ดอลลาร์
อัตราส่วนป้องกันความเสี่ยง: จำนวนหุ้นที่จะซื้อหรือขายเพื่อลดความเสี่ยงในทิศทางของตำแหน่ง
โอกาสที่ตัวเลือกจะเป็นเงินเมื่อหมดอายุ

→การเรียก OTM: เดลต้ามีแนวโน้มที่จะเป็น 0 เมื่อเราเข้าใกล้การหมดอายุ

→การโทร ITM: เดลต้ามีแนวโน้มที่ 100 เมื่อเวลาผ่านไป

เดลต้าของการวางเทียบกับราคาอ้างอิง

Delta เทียบกับ Volatility

เมื่อความผันผวนเพิ่มขึ้น (ลดลง) เดลต้าของการเรียกจะไปทาง (ห่างจาก) 0.50 และเดลต้าของการใส่ไปทาง (ห่างจาก) -0.50 ดังนั้นหากความผันผวนเพิ่มขึ้น (ลดลง) เดลต้าของตัวเลือกเงินจะลดลง (เพิ่มขึ้น) ในกรณีที่ตัวเลือกเงินหมดจะตรงกันข้าม

เดลต้าเทียบกับเวลา

เมื่อเวลาเสื่อมลงเดลต้าของการโทรจะเคลื่อนห่างจาก 0.50 และเดลต้าของการโทรออกจาก -0.50 เมื่อเวลาผ่านไปเดลต้าของการเรียกเงินจะเคลื่อนไปทาง 1 และเดลต้าของเงินออกไปยัง 0

แกมมา

แกมมาเป็นอนุพันธ์ของเดลต้าซึ่งเป็นฟังก์ชันของราคาหุ้น เนื่องจากเดลต้าเป็นอนุพันธ์ของค่าออปชั่นตามหน้าที่ของหุ้นอ้างอิงแกมมาคือการเปลี่ยนแปลงของเดลต้าเมื่อราคาหุ้นเพิ่มขึ้น 1 ดอลลาร์ เขียนไว้ดังนี้:

Γ = δ ₂ค / δS ² = N '(ง₁) / S ₀ σ√T

ด้วย d ₁เช่นเดียวกับในสูตร BS และ N 'อนุพันธ์แรกของฟังก์ชันความหนาแน่นสะสมแบบเกาส์นั่นคือความหนาแน่นเกาส์ปกติ:

แกมมาเทียบกับราคาหุ้นแกมมาเทียบกับเวลา

คนมักพูดว่าแกมมาถึงค่าสูงสุดเมื่อตัวเลือกคือ ATM นี่เป็นค่าประมาณแรกที่ถูกต้อง แต่จะถึงขีดสูงสุดที่แท้จริงเมื่อราคาหุ้นต่ำกว่าราคานัดหยุดงาน เอฟเฟกต์นี้แสดงในส่วนด้านซ้ายของรูปด้านบนสำหรับการซื้อขายหุ้นที่ 100 ดอลลาร์ ได้รับการตี X ผันผวนσ, R อัตราและเวลาที่จะหมดอายุทีมูลค่าหุ้นให้แกมมาสูงสุดคือ S _{สูงสุดΓ} = Xe ^{- (R + 3σ ^ 2/2)} T

เส้นโค้งแกมมาของการโทรและการวางนั้นเหมือนกัน สิ่งนี้สอดคล้องกับสิ่งที่เราพูดเกี่ยวกับการโทรและวางไว้โดยทั่วไปรวมทั้งแกมมาโดยเฉพาะจนถึงตอนนี้

เมื่อเวลาในการหมดอายุลดลงแกมมาและทีต้าของอ็อพชัน at-the-money ก็เพิ่มขึ้น ก่อนที่จะหมดอายุตัวแปรเหล่านี้อาจมีขนาดใหญ่มาก

แกมมาเทียบกับเวลา

ดังที่แสดงในรูปด้านบนกราฟจะแคบลง แต่พื้นผิวทั้งหมดที่อยู่ข้างใต้กราฟจะไม่เปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้กราฟจึงได้รับส่วนบนที่สูงขึ้นมาก ด้านบนที่สูงขึ้นเป็นสัญลักษณ์ของการเพิ่มขึ้นของแกมมาและทีต้าเมื่อเวลาในการหมดอายุลดลง

เนื่องจากพฤติกรรมของการเรียก ITM, ATM และ OTM เราจึงเห็นว่าเส้นโค้งเดลต้าจะเพิ่มขึ้นรอบ ๆ การประท้วงเมื่อใกล้หมดอายุ ดังนั้นแกมม่าจะเพิ่มขึ้นสำหรับตัวเลือก ATM เมื่อเวลาผ่านไป อย่างไรก็ตามนี่ไม่เป็นความจริงสำหรับตัวเลือก OTM และ ITM

แกมมาเป็นตัวแปรความเสี่ยงที่สำคัญเนื่องจากเป็นตัวกำหนดจำนวนเงินที่เราจะได้รับหรือสูญเสียในพอร์ตการลงทุนแบบเดลต้าของเราเมื่อราคาหุ้นเปลี่ยนแปลง ในตัวอย่างต่อไปนี้เราจะประเมิน P / L ของตำแหน่งออปชั่นอันเป็นผลมาจากการเคลื่อนไหวของพื้นฐาน เราจะถือว่าแกมมาคงที่เป็น 2.7 ดังนั้นเดลต้าจึงเปลี่ยนไป 2.7 ต่อการเคลื่อนไหวของค่าอ้างอิง

สมมติว่าเราซื้อ 80 โทร 1,000 ครั้งที่ 5.52 ด้วยราคาหุ้น 79 ดอลลาร์ เพื่อความเป็นกลางของเดลต้าเราควรขาย 51,100 หุ้น ราคาหุ้นมีการพัฒนาดังนี้:



เสื้อ =	ราคาหุ้น
0	79
1	84
2	76
3	79

ที่ t = 1 และ t = 2 ฉันปรับการป้องกันความเสี่ยงใหม่เพื่อให้เดลต้าเป็นกลาง ที่ t = 3 ฉันปิดตำแหน่งของฉัน

สามวิธีในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงมูลค่าของตำแหน่ง

ต่อไปนี้เป็นสามวิธีในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงมูลค่าตำแหน่งของเราวิธีแรกใช้กระแสเงินสดวิธีที่สองใช้เดลต้าและวิธีที่สามโดยใช้แกมมา

1. การคำนวณกำไรโดยใช้กระแสเงินสด

อันดับแรกเรามาดูกระแสเงินสดดังแสดงในตารางด้านล่าง คอลัมน์ที่สองแสดงกระแสเงินสดที่เกี่ยวข้องกับการโทรและคอลัมน์ที่สามที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่งหุ้นของฉัน บรรทัดสุดท้ายรวมทั้งหมด:

ในที่สุดเราก็ทำกำไรได้ 132,300 หากเราเป็นตัวเลือกยาวและมีตำแหน่งแกมมายาวเราจำเป็นต้องซื้อหุ้นหากราคาหุ้นลดลงและขายหุ้นหากราคาหุ้นเพิ่มขึ้น (ซื้อต่ำขายสูง) ดังนั้นเราจึงทำกำไรได้เสมอหากหุ้นเคลื่อนไหว ตรวจสอบตัวเองว่าใช้ได้ทั้งการโทรและการโทร

2. การคำนวณกำไรโดยใช้ Delta

ตอนนี้เราพิจารณาวิธีที่สองในการคำนวณผลกำไร การซื้อขายเหมือนกันเพียง แต่การคำนวณกำไรแตกต่างกัน ด้วยวิธีการดังกล่าวเราจะพิจารณาตัวเลือกและตำแหน่งหุ้นพร้อมกัน เรามีหุ้นเป็นตัวป้องกันความเสี่ยงดังนั้นให้พิจารณาตำแหน่งเดลต้าทั้งหมด เราเริ่มต้นเดลต้าเป็นกลาง จากนั้นหุ้นก็เคลื่อนตัวเราได้รับเดลต้า (เราคำนวณเดลต้าที่เราได้รับโดยใช้ผลต่างระหว่างสองเดลต้าที่กำหนดสำหรับค่าหุ้นเริ่มต้นและสิ้นสุดที่กำหนดเพื่อให้ได้ค่าเดลต้าเฉลี่ยในระหว่างการย้ายเรานำค่านี้หารด้วยสอง) พอร์ตการลงทุนมีมูลค่าเพิ่มขึ้นตามเดลต้าตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง

ในกรณีนี้เราใช้วิธีเดลต้าเฉลี่ย นั่นคือเรา:

คำนวณตำแหน่งเดลต้าเฉลี่ยระหว่างการย้ายหุ้น
คูณสิ่งนี้ด้วยช่วงเวลาเพื่อคำนวณกำไร

ในเวลา t เราป้องกันความเสี่ยงดังนั้นเราจึงซื้อ / ขายหุ้นเพื่อให้เดลต้าเป็นกลางอีกครั้ง

ลองดูสิ่งนี้อย่างรอบคอบมากขึ้น:

ที่ t = 0 หุ้นซื้อขาย 79 เราเริ่มตำแหน่งที่เป็นกลางของเดลต้านั่นคือเรามีหุ้น 51,100 หุ้นสั้น
ที่ t = 1 การซื้อขายหุ้น 84 เดลต้าของตำแหน่งออปชั่นคือ 64.6 * 1,000 (จากตัวเลือก) -51100 (จากหุ้น) ระหว่าง t = 0 และ t = 1 ตำแหน่งเดลต้าของฉันเปลี่ยนจาก 0 เป็น 13,500 เดลต้าเฉลี่ยของฉันสำหรับการย้ายครั้งนั้นคือ (13,500 + 0) / 2 = 6750 (6.75 ต่อการโทร) ในการคำนวณ PnL ของตำแหน่งของฉันฉันคูณเดลต้าเหล่านี้ด้วยจำนวนการเคลื่อนไหวของหุ้น: 6570 * 5 = 33,750 ดอลลาร์ เพื่อให้ได้กำไรนี้ฉันต้องขายหุ้นเพื่อให้เป็นกลางอีกครั้ง
ที่ t = 2 การซื้อขายหุ้น 76 เดลต้าของตำแหน่งตัวเลือกของฉันคือ 43.0 * 1000 และเดลต้าของตำแหน่งหุ้นของฉันคือ -64600…

ตัวอย่างการคำนวณกำไรโดยใช้ Gamma

3. การคำนวณกำไรโดยใช้แกมมา

ในตัวอย่างข้างต้นเราคำนวณตำแหน่งเดลต้าเฉลี่ยโดยการหาค่าเฉลี่ยของตำแหน่งเดลต้าเริ่มต้นและตำแหน่งเดลต้าสุดท้าย สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้แกมมาเนื่องจากแกมมากำหนดการเปลี่ยนแปลงของเดลต้าต่อดอลลาร์

อธิบายวิธีการ:

ที่ t = 0 หุ้นเทรด 79 เดลต้าเป็นกลางแกมม่าคือ 2,700
ที่ t = 1 หุ้นซื้อขาย 84 หุ้นขยับโดย 5 ดังนั้นตำแหน่งเดลต้าใหม่ของฉันคือ 5 * 2,700 ที่จุดเริ่มต้นของการย้ายเดลต้าของฉันคือ 0 ดังนั้นเดลต้าเฉลี่ยของฉันคือ 5 * 2,700 / 2 หุ้นขยับขึ้น 5 ดังนั้นพอร์ตการลงทุนจึงได้รับ 5 * เดลต้าเฉลี่ย = 5 * 5 * 2,700 / 2 พอร์ตโฟลิโอถูกป้องกันความเสี่ยงเพื่อให้เดลต้าเป็น 0 อีกครั้ง เราเรียกสิ่งนี้ว่า "ถลกหนังแกมมา" ตำแหน่งแกมมาที่ยาวนานช่วยให้คุณซื้อต่ำและขายสูง
ที่ t = 2 หุ้นซื้อขาย 76 นี่คือการเคลื่อนไหว 8 ดอลลาร์ตำแหน่งเดลต้าใหม่ของฉันคือ 8 * 2700…

เราสามารถใช้สูตรทั่วไปต่อไปนี้ได้หากเราเริ่มจากผลงานที่เป็นกลางของเดลต้า:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2